En modélisant par une fonction, dérivant et cherchant l’extremum

Résoudre un problème concret en trouvant le maximum ou le minimum d’une grandeur.

L'objectif

Résoudre un problème concret en trouvant le maximum ou le minimum d’une grandeur.

Le principe

On exprime la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, puis on utilise la dérivée pour trouver l’extremum.

La méthode

1
Je définis la variable et j’exprime la grandeur à optimiser comme une fonction $f(x)$ , en déterminant l’intervalle d’étude.
2
Je calcule $f'(x)$ et je résous $f'(x) = 0$ .
3
J’étudie le signe de $f'$ pour déterminer les variations de $f$ et identifier l’extremum.
4
Je calcule la valeur optimale $f(x_0)$ et je réponds au problème posé dans le contexte.

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Exercice d'exemple

On dispose de $20$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur. Quelles dimensions maximisent l’aire ?

Étape 1 —

Je définis la variable et j’exprime la grandeur à optimiser comme une fonction

f(x)

, en déterminant l’intervalle d’étude.

Soit $x$ la longueur perpendiculaire au mur. Le périmètre libre est $2x + L = 20$ , donc $L = 20 - 2x$ . Aire : $f(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2$ , pour $x \in ]0\,;10[$ .

Étape 2 —

Je calcule

f'(x)

et je résous

f'(x) = 0

$f'(x) = 20 - 4x$ . $f'(x) = 0 \iff x = 5$ .

Étape 3 —

J’étudie le signe de

f'

pour déterminer les variations de

f

et identifier l’extremum.

$f'(x) > 0$ sur $]0\,;5[$ et $f'(x) < 0$ sur $]5\,;10[$ : maximum en $x = 5$ .

Étape 4 —

Je calcule la valeur optimale

f(x_0)

et je réponds au problème posé dans le contexte.

$f(5) = 100 - 50 = 50$ . L’aire maximale est $50$ m² pour $x = 5$ m et $L = 10$ m.

L’aire maximale est $50$ m², obtenue pour des dimensions $5$ m $\times$ $10$ m.

Application guidée

Parmi tous les rectangles de périmètre $24$ cm, lequel a l’aire maximale ?

Application autonome 1

Une boîte sans couvercle est fabriquée à partir d’une plaque carrée de $12$ cm de côté en découpant des carrés de côté $x$ aux coins. Quelle valeur de $x$ maximise le volume ?

Application autonome 2

On fabrique une boîte cylindrique sans couvercle de volume $1\,000$ cm $^3$ . Quel rayon $r$ minimise la quantité de matière utilisée (aire latérale + fond) ?

Application autonome 3

Un agriculteur vend des courges : son bénéfice (en \text{€}) pour $x$ centaines de kilos vendues est $B(x) = -2x^2 + 40x - 50$ , pour $x \in [0\,;20]$ . Combien doit-il en vendre pour maximiser son bénéfice ?

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