En lisant les flèches, les valeurs et les extremums du tableau

Exploiter un tableau de variations pour répondre à des questions sur la fonction.

L'objectif

Exploiter un tableau de variations pour répondre à des questions sur la fonction.

Le principe

Le tableau de variations synthétise toutes les informations sur la monotonie et les extremums : les flèches montantes indiquent la croissance, les descendantes la décroissance.

La méthode

1
Je repère les intervalles de croissance (flèches montantes) et de décroissance (flèches descendantes).
2
J’identifie les extremums locaux : maximum au sommet d’une flèche montante suivie d’une descendante, minimum au creux d’une descendante suivie d’une montante.
3
Je lis les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums pour répondre aux questions posées (nombre de solutions, inégalités, image d’un intervalle).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;4]$ indique : $f(-2) = 1$ , $f$ croissante jusqu’à $f(1) = 5$ , puis décroissante jusqu’à $f(4) = -2$ . Combien l’équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solutions ?

Étape 1 —

Je repère les intervalles de croissance (flèches montantes) et de décroissance (flèches descendantes).

$f$ est croissante sur $[-2\,;1]$ et décroissante sur $[1\,;4]$ .

Étape 2 —

J’identifie les extremums locaux : maximum au sommet d’une flèche montante suivie d’une descendante, minimum au creux d’une descendante suivie d’une montante.

Maximum local en $x = 1$ : $f(1) = 5$ . Pas de minimum local intérieur.

Étape 3 —

Je lis les valeurs de

f

aux bornes et aux extremums pour répondre aux questions posées (nombre de solutions, inégalités, image d’un intervalle).

Sur $[-2\,;1]$ , $f$ va de $1$ à $5$ : comme $1 < 3 < 5$ , il y a exactement $1$ solution. Sur $[1\,;4]$ , $f$ va de $5$ à $-2$ : comme $-2 < 3 < 5$ , il y a exactement $1$ solution. Total : $2$ solutions.

L’équation $f(x) = 3$ admet exactement $2$ solutions sur $[-2\,;4]$ .

Application guidée

Le tableau de variations de $g$ sur $[0\,;6]$ indique : $g(0) = 4$ , $g$ décroissante jusqu’à $g(3) = -1$ , puis croissante jusqu’à $g(6) = 2$ . Déterminer l’image de $[0\,;6]$ par $g$ .

Application autonome 1

Le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$ indique : $h$ croissante sur $]-\infty\,;-1]$ avec $h(-1) = 3$ , décroissante sur $[-1\,;2]$ avec $h(2) = -1$ , croissante sur $[2\,;+\infty[$ . Montrer que $h(x) \geq -1$ pour tout $x$ .

Application autonome 2

Le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;5]$ indique : $f(-3) = 0$ , $f$ décroissante jusqu'à $f(0) = -4$ , puis croissante jusqu'à $f(5) = 6$ . Combien l'équation $f(x) = 2$ a-t-elle de solutions ?

Application autonome 3

Le tableau de variations de $g$ sur $[-2\,;6]$ indique : $g(-2) = -3$ , $g$ croissante jusqu'à $g(1) = 4$ , décroissante jusqu'à $g(4) = 0$ , puis croissante jusqu'à $g(6) = 2$ . Combien l'équation $g(x) = 1$ a-t-elle de solutions ?

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