En montrant que $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de l’intervalle

Prouver qu’une fonction est constante sur un intervalle.

L'objectif

Prouver qu’une fonction est constante sur un intervalle.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ sur l’intervalle $I$ .
2
Je montre que $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ .
3
J’en déduis que $f$ est constante sur $I$ , et je détermine la constante en calculant $f$ en un point.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4x$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

sur l’intervalle

I

$f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - 4x = 0$ . On peut aussi dériver : $f'(x) = 2(x+1) - 2(x-1) - 4 = 2x + 2 - 2x + 2 - 4 = 0$ .

Étape 2 —

Je montre que

f'(x) = 0

pour tout

x \in I

$f'(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Étape 3 —

J’en déduis que

f

est constante sur

I

, et je détermine la constante en calculant

f

en un point.

$f$ est constante. $f(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ . Donc $f(x) = 0$ pour tout $x$ .

$f$ est la fonction constante égale à $0$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $g(x) = 3(x - 1)^2 - 3x^2 + 6x$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Soit $h(x) = (2x+1)^3 - 8x^3 - 12x^2 - 6x$ . Montrer que $h$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $f(x) = (x + 3)^2 - x^2 - 6x$ est constante sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa valeur.

Application autonome 3

Montrer que $g(x) = (x - 2)^3 - x^3 + 6x^2 - 12x$ est constante sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa valeur.

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