Comment déterminer les extremums d’une fonction ? | MetMat

Comment déterminer les extremums d’une fonction ?

En cherchant les points où $f'$ s’annule en changeant de signe

Déterminer les extremums locaux d’une fonction dérivable.

L'objectif

Déterminer les extremums locaux d’une fonction dérivable.

Le principe

Si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ ; $f'$ passe de $+$ à $-$ donne un maximum, de $-$ à $+$ donne un minimum.

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ et je résous $f'(x) = 0$ .
2
Pour chaque solution $a$ , j’étudie le signe de $f'$ juste avant et juste après $a$ .
3
Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , $f(a)$ est un maximum local ; si $f'$ passe de $-$ à $+$ , $f(a)$ est un minimum local. Si $f'$ ne change pas de signe, pas d’extremum.
4
Je calcule $f(a)$ pour donner la valeur de l’extremum.

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Exercice d'exemple

Déterminer les extremums de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

et je résous

f'(x) = 0

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ . $f'(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$ .

Étape 2 —

Pour chaque solution

a

, j’étudie le signe de

f'

juste avant et juste après

a

Pour $x = 0$ : $f'(-1) = 9 > 0$ et $f'(1) = -3 < 0$ . Pour $x = 2$ : $f'(1) = -3 < 0$ et $f'(3) = 9 > 0$ .

Étape 3 —

f'

passe de

+

-

f(a)

est un maximum local ; si

f'

passe de

-

+

f(a)

est un minimum local. Si

f'

ne change pas de signe, pas d’extremum.

En $x = 0$ , $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. En $x = 2$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local.

Étape 4 —

Je calcule

f(a)

pour donner la valeur de l’extremum.

$f(0) = 4$ et $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ .

$f$ admet un maximum local $4$ en $x = 0$ et un minimum local $0$ en $x = 2$ .

Application guidée

Déterminer les extremums de $f(x) = x^4 - 4x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Déterminer les extremums de $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Déterminer les extremums de $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Déterminer les extremums de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ sur $\mathbb{R}$ .

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En cherchant les points où f′f'f′ s’annule en changeant de signe

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant les points où $f'$ s’annule en changeant de signe