En calculant $f'(x)$ , étudiant son signe et dressant le tableau de variations

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction dérivable.

L'objectif

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction dérivable.

Le principe

Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante ; si $f'(x) \leq 0$ , $f$ est décroissante.

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
2
Je résous $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.
3
J’étudie le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.
4
Je dresse le tableau de variations en indiquant les flèches montantes ( $f' > 0$ ) et descendantes ( $f' < 0$ ), et je calcule les valeurs de $f$ aux bornes.

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Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

en appliquant les règles de dérivation.

$f'(x) = 3x^2 - 3$ .

Étape 2 —

Je résous

f'(x) = 0

pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.

$f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1$ ou $x = 1$ .

Étape 3 —

J’étudie le signe de

f'(x)

sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.

$f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ . On a $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $]1\,;+\infty[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;1[$ .

Étape 4 —

Je dresse le tableau de variations en indiquant les flèches montantes (

f' > 0

) et descendantes (

f' < 0

), et je calcule les valeurs de

f

aux bornes.

$f(-1) = 3$ , $f(1) = -1$ . Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

Application guidée

Étudier les variations de $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier les variations de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Application autonome 2

Étudier les variations de $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

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