En sommant les $P(X = x_i)$ pour toutes les valeurs $x_i \leq a$

Calculer $P(X \leq a)$ , $P(X < a)$ , $P(X \geq a)$ ou $P(a \leq X \leq b)$ à partir de la loi de $X$ .

L'objectif

Calculer $P(X \leq a)$ , $P(X < a)$ , $P(X \geq a)$ ou $P(a \leq X \leq b)$ à partir de la loi de $X$ .

Le principe

L'événement $\{X \leq a\}$ est la réunion disjointe des événements $\{X = x_i\}$ pour toutes les valeurs $x_i \leq a$ . Donc $P(X \leq a) = \sum_{x_i \leq a} P(X = x_i)$ . On peut aussi utiliser le complémentaire : $P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$ .

La méthode

1
Identifier la loi de $X$ (toutes les valeurs et leurs probabilités).
2
Repérer toutes les valeurs $x_i$ vérifiant la condition demandée (par exemple $x_i \leq a$ ).
3
Sommer les probabilités correspondantes. Si besoin, utiliser le complémentaire.

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Exercice d'exemple

$X$ a pour loi : $P(X=1)=0{,}1$ , $P(X=3)=0{,}3$ , $P(X=5)=0{,}4$ , $P(X=8)=0{,}2$ . Calculer $P(X \leq 5)$ et $P(X > 3)$ .

Étape 1 —

Identifier la loi de

X

(toutes les valeurs et leurs probabilités).

$X$ prend les valeurs $1, 3, 5, 8$ avec les probabilités données.

Étape 2 —

Repérer toutes les valeurs

x_i

vérifiant la condition demandée (par exemple

x_i \leq a

Pour $P(X \leq 5)$ : les valeurs $\leq 5$ sont $1, 3, 5$ . Pour $P(X > 3)$ : les valeurs $> 3$ sont $5, 8$ .

Étape 3 —

Sommer les probabilités correspondantes. Si besoin, utiliser le complémentaire.

$P(X \leq 5) = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}8$ . $P(X > 3) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$ (ou $1 - P(X \leq 3) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ ).

$P(X \leq 5) = 0{,}8$ et $P(X > 3) = 0{,}6$ .

Application guidée

On lance deux dés. $X$ est le maximum des deux résultats. On connaît $P(X=k) = \dfrac{2k-1}{36}$ . Calculer $P(X \leq 3)$ .

Application autonome 1

On lance une pièce $3$ fois. $X$ = nombre de pile. Calculer $P(X \geq 2)$ .

Application autonome 2

On tire une boule dans une urne contenant les numéros $1$ à $10$ , équiprobables. $X$ est le numéro tiré. Calculer $P(3 \leq X \leq 7)$ .

Application autonome 3

$X$ suit la loi : $P(X=-2) = 0{,}15$ , $P(X=0) = 0{,}25$ , $P(X=3) = 0{,}3$ , $P(X=7) = 0{,}2$ , $P(X=10) = 0{,}1$ . Calculer $P(X < 3)$ et $P(X \geq 3)$ .

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En sommant les P(X=xi)P(X = x_i)P(X=xi​) pour toutes les valeurs xi≤ax_i \leq axi​≤a

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En sommant les $P(X = x_i)$ pour toutes les valeurs $x_i \leq a$