Comment utiliser l'espérance pour résoudre un problème de jeu équitable ? | MetMat

Comment utiliser l'espérance pour résoudre un problème de jeu équitable ?

En modélisant le gain par une VA et en calculant $E(X)$

Déterminer si un jeu est équitable, favorable ou défavorable au joueur en calculant l'espérance du gain.

L'objectif

Déterminer si un jeu est équitable, favorable ou défavorable au joueur en calculant l'espérance du gain.

Le principe

On modélise le gain algébrique du joueur par une variable aléatoire $G$ (gains positifs, pertes négatives). Un jeu est équitable si $E(G) = 0$ , favorable au joueur si $E(G) > 0$ , défavorable si $E(G) < 0$ .

La méthode

1
Définir la variable aléatoire $G$ représentant le gain algébrique du joueur (gain reçu moins mise payée).
2
Déterminer la loi de probabilité de $G$ .
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
3
Calculer $E(G) = \sum g_i \cdot P(G = g_i)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?Voir
4
Conclure : si $E(G) = 0$ , le jeu est équitable ; si $E(G) > 0$ , il est favorable au joueur ; si $E(G) < 0$ , il est défavorable.

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. Si on obtient $6$ , on gagne $10$ \text{€} ; sinon, on perd $2$ \text{€}. Le jeu est-il équitable ?

Étape 1 —

Définir la variable aléatoire

G

représentant le gain algébrique du joueur (gain reçu moins mise payée).

On pose $G$ le gain algébrique : $G = 10$ si on obtient $6$ , $G = -2$ sinon.

Étape 2 —

Déterminer la loi de probabilité de

G

$P(G = 10) = \dfrac{1}{6}$ et $P(G = -2) = \dfrac{5}{6}$ .

Étape 3 —

Calculer

E(G) = \sum g_i \cdot P(G = g_i)

$E(G) = 10 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{6} - \dfrac{10}{6} = 0$ .

Étape 4 —

Conclure : si

E(G) = 0

, le jeu est équitable ; si

E(G) > 0

, il est favorable au joueur ; si

E(G) < 0

, il est défavorable.

$E(G) = 0$ donc le jeu est équitable.

Le jeu est équitable car $E(G) = 0$ .

Application guidée

On lance un dé. Si on obtient un nombre pair, on gagne $3$ \text{€}. Sinon, on perd $4$ \text{€}. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Application autonome 1

On tire une carte d'un jeu de $32$ . Si c'est un as, on gagne $N$ \text{€}. Sinon, on perd $2$ \text{€}. Pour quelle valeur de $N$ le jeu est-il équitable ?

Application autonome 2

Un stand forain propose : on mise $5$ \text{€}, on tire une boule dans une urne contenant $2$ boules vertes, $3$ bleues et $5$ rouges. Vert rapporte $20$ \text{€}, bleu rapporte $5$ \text{€}, rouge rien. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Application autonome 3

Une loterie vend des tickets à $2$ \text{€}. Sur $1000$ tickets, $1$ gagne $500$ \text{€}, $10$ gagnent $20$ \text{€} et les autres ne gagnent rien. Déterminer l'espérance de gain pour un acheteur.

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