En comparant les écarts types de deux variables aléatoires

Interpréter l'écart type pour comparer la régularité ou la dispersion de deux situations aléatoires.

L'objectif

Interpréter l'écart type pour comparer la régularité ou la dispersion de deux situations aléatoires.

Le principe

L'écart type $\sigma(X)$ mesure la dispersion « typique » des valeurs de $X$ autour de $E(X)$ . Plus $\sigma$ est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de l'espérance ; plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées.

La méthode

1
Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ pour chaque variable aléatoire à comparer.
Comment calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire ?Voir
2
Comparer les écarts types : un $\sigma$ plus petit signifie des résultats plus prévisibles (moins de risque).
3
Interpréter dans le contexte : fiabilité, risque, régularité…

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Exercice d'exemple

Placement A : gain $X_A$ avec $E(X_A) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_A) = 5$ \text{€}. Placement B : gain $X_B$ avec $E(X_B) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_B) = 30$ \text{€}. Comparer.

Étape 1 —

Calculer

E(X)

\sigma(X)

pour chaque variable aléatoire à comparer.

Les deux placements ont la même espérance de gain : $100$ \text{€}.

Étape 2 —

Comparer les écarts types : un

\sigma

plus petit signifie des résultats plus prévisibles (moins de risque).

$\sigma(X_A) = 5 < 30 = \sigma(X_B)$ : le placement A a des résultats beaucoup plus concentrés autour de $100$ \text{€}.

Étape 3 —

Interpréter dans le contexte : fiabilité, risque, régularité…

Le placement A est plus fiable (moins risqué). Le placement B est plus variable : on peut gagner beaucoup plus ou beaucoup moins que $100$ \text{€}.

Les deux placements rapportent $100$ \text{€} en moyenne, mais A est plus fiable ( $\sigma = 5$ \text{€}) tandis que B est plus risqué ( $\sigma = 30$ \text{€}).

Application guidée

Machine 1 : $X_1$ avec $E(X_1) = 50$ g et $\sigma(X_1) = 0{,}5$ g. Machine 2 : $X_2$ avec $E(X_2) = 50$ g et $\sigma(X_2) = 3$ g. Quelle machine est plus précise ?

Application autonome 1

$X$ compte le nombre de « 6 » en lançant un dé $60$ fois. On admet $E(X) = 10$ et $\sigma(X) \approx 2{,}89$ . Que peut-on en dire ?

Application autonome 2

Deux élèves ont la même moyenne de $12$ en mathématiques. Pour Léa, $\sigma = 1{,}2$ ; pour Jules, $\sigma = 4$ . Comparer leur régularité.

Application autonome 3

Deux lignes de métro ont un temps d'attente moyen de $4$ minutes. Ligne 1 : $\sigma_1 = 0{,}5$ min ; Ligne 2 : $\sigma_2 = 2{,}5$ min. Quelle ligne est plus fiable ?

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