Résoudre une équation $\sin(x) = \sin(a)$

Résoudre une équation de la forme $\sin(x) = c$ en trouvant toutes les solutions.

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $\sin(x) = c$ en trouvant toutes les solutions.

Le principe

$\sin(x) = \sin(a)$ si et seulement si $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

La méthode

1
Je mets l'équation sous la forme $\sin(x) = \sin(a)$ en identifiant $a \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin(a) = c$ .
2
J'écris les deux familles de solutions : $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
3
Si l'énoncé demande les solutions sur un intervalle donné, je détermine les valeurs de $k$ qui conviennent.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[-\pi\,;\pi]$ .

Étape 1 —

Je mets l'équation sous la forme

\sin(x) = \sin(a)

en identifiant

a \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

tel que

\sin(a) = c

$\sin(a) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ avec $a \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , donc $a = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 2 —

J'écris les deux familles de solutions :

x = a + 2k\pi

x = \pi - a + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Étape 3 —

Si l'énoncé demande les solutions sur un intervalle donné, je détermine les valeurs de

k

qui conviennent.

Sur $[-\pi\,;\pi]$ : $k = 0$ donne $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{2\pi}{3}$ .

Sur $[-\pi\,;\pi]$ , $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}$ .

Application guidée

Résoudre $\sin(x) = -\dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .

Application autonome 1

Résoudre $\sin(x) = 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Résoudre $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .

Application autonome 3

Résoudre $\sin(x) = 0$ sur $[-\pi\,;\pi]$ .

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