Propriétés des fonctions cosinus et sinus | MetMat

Propriétés des fonctions cosinus et sinus

Exploiter la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques

Réduire l'intervalle d'étude d'une fonction trigonométrique en exploitant sa parité et sa périodicité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = \cos(x) + 1$ est paire et $2\pi$ -périodique, puis déterminer l'intervalle d'étude minimal.

L'objectif

Réduire l'intervalle d'étude d'une fonction trigonométrique en exploitant sa parité et sa périodicité.

Le principe

$\cos$ est paire et $\sin$ est impaire ; les deux sont $2\pi$ -périodiques, ce qui permet de n'étudier que $[0\,;\pi]$ .

La méthode

1
Je calcule $f(-x)$ et je compare à $f(x)$ pour déterminer si $f$ est paire ( $f(-x) = f(x)$ ) ou impaire ( $f(-x) = -f(x)$ ).
2
Je vérifie la $2\pi$ -périodicité en calculant $f(x + 2\pi)$ et en vérifiant que $f(x + 2\pi) = f(x)$ .
3
Par périodicité, je réduis l'étude à un intervalle de longueur $2\pi$ (par exemple $[-\pi\,;\pi]$ ). Par parité, je réduis encore à la moitié (par exemple $[0\,;\pi]$ ).
4
J'étudie $f$ sur l'intervalle réduit, puis je complète la courbe par symétrie (parité) et translation (périodicité).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = \cos(x) + 1$ est paire et $2\pi$ -périodique, puis déterminer l'intervalle d'étude minimal.

Étape 1 —

Je calcule

f(-x)

et je compare à

f(x)

pour déterminer si

f

est paire (

f(-x) = f(x)

) ou impaire (

f(-x) = -f(x)

$f(-x) = \cos(-x) + 1 = \cos(x) + 1 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Étape 2 —

Je vérifie la

2\pi

-périodicité en calculant

f(x + 2\pi)

et en vérifiant que

f(x + 2\pi) = f(x)

$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) + 1 = \cos(x) + 1 = f(x)$ . Donc $f$ est $2\pi$ -périodique.

Étape 3 —

Par périodicité, je réduis l'étude à un intervalle de longueur

2\pi

(par exemple

[-\pi\,;\pi]

). Par parité, je réduis encore à la moitié (par exemple

[0\,;\pi]

Par $2\pi$ -périodicité, on se ramène à $[-\pi\,;\pi]$ . Par parité, on réduit à $[0\,;\pi]$ .

Étape 4 —

J'étudie

f

sur l'intervalle réduit, puis je complète la courbe par symétrie (parité) et translation (périodicité).

On étudie $f$ sur $[0\,;\pi]$ , puis on complète par symétrie par rapport à $(Oy)$ et par translation de $2\pi$ .

$f$ est paire et $2\pi$ -périodique. L'intervalle d'étude minimal est $[0\,;\pi]$ .

Application guidée

Montrer que $g(x) = \sin(x) - x$ n'est pas périodique mais est impaire.

Application autonome 1

Montrer que $h(x) = 2\sin(x)$ est impaire et $2\pi$ -périodique, puis déterminer l'intervalle d'étude minimal.

Application autonome 2

Soit $f(x) = \cos(2x)$ . Étudier sa parité et sa périodicité, puis déterminer un intervalle d'étude minimal.

Application autonome 3

Soit $g(x) = \sin(x) \cos(x)$ . Étudier sa parité et sa périodicité.

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