Lier courbe représentative et cercle trigonométrique

Résoudre graphiquement une équation ou lire des propriétés en faisant le lien entre cercle trigonométrique et courbe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer graphiquement les solutions de $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

L'objectif

Résoudre graphiquement une équation ou lire des propriétés en faisant le lien entre cercle trigonométrique et courbe.

Le principe

L'ordonnée de la courbe de $\cos$ (resp. $\sin$ ) en $t$ est l'abscisse (resp. ordonnée) du point $M(t)$ sur le cercle.

La méthode

1
Sur le cercle trigonométrique, je repère le point $M(t)$ et ses coordonnées $(\cos(t)\,;\sin(t))$ .
2
Sur la courbe de $\cos$ (resp. $\sin$ ), l'ordonnée au point d'abscisse $t$ correspond à l'abscisse (resp. ordonnée) de $M(t)$ sur le cercle.
3
Je repère les zéros, extremums et signes en comparant les deux représentations pour vérifier la cohérence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer graphiquement les solutions de $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Étape 1 —

Sur le cercle trigonométrique, je repère le point

M(t)

et ses coordonnées

(\cos(t)\,;\sin(t))

Sur le cercle, la condition $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ correspond aux points dont l'abscisse vaut $\dfrac{1}{2}$ . On trace la droite verticale $X = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Sur la courbe de

\cos

(resp.

\sin

), l'ordonnée au point d'abscisse

t

correspond à l'abscisse (resp. ordonnée) de

M(t)

sur le cercle.

La droite coupe le cercle en deux points : $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ dans le quadrant I et $M\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$ dans le quadrant IV.

Étape 3 —

Je repère les zéros, extremums et signes en comparant les deux représentations pour vérifier la cohérence.

Sur la courbe de $y = \cos(x)$ , la droite $y = \dfrac{1}{2}$ coupe la courbe en $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$ , ce qui confirme.

Les solutions sur $[0\,;2\pi]$ sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$ .

Application guidée

Déterminer graphiquement les solutions de $\sin(x) = 0$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Application autonome 1

Déterminer graphiquement les valeurs de $x \in [0\,;2\pi]$ telles que $\cos(x) \geq 0$ .

Application autonome 2

Déterminer graphiquement les solutions de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Application autonome 3

Déterminer graphiquement les valeurs de $x \in [0\,;2\pi]$ telles que $\sin(x) < 0$ .

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