Angles associés et symétries du cercle | MetMat

Angles associés et symétries du cercle

Utiliser les formules d'angles associés

Calculer $\cos$ ou $\sin$ d'un angle associé en appliquant la formule de symétrie adaptée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ .

L'objectif

Calculer $\cos$ ou $\sin$ d'un angle associé en appliquant la formule de symétrie adaptée.

Le principe

Chaque forme ( $\pi - x$ , $\pi + x$ , $-x$ , $\dfrac{\pi}{2} - x$ ) correspond à une symétrie du cercle qui modifie le signe de $\cos$ et/ou $\sin$ .

La méthode

1
J'identifie la forme de l'angle : $\pi - x$ , $\pi + x$ , $-x$ ou $\dfrac{\pi}{2} - x$ avec $x$ dans le premier quadrant.
2
J'identifie la symétrie correspondante : axe $(Oy)$ pour $\pi - x$ , centre $O$ pour $\pi + x$ , axe $(Ox)$ pour $-x$ , première bissectrice pour $\dfrac{\pi}{2} - x$ .
3
J'applique la formule en recopiant $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ avec le signe déterminé par le quadrant d'arrivée.
4
Si $x$ est une valeur remarquable, je remplace par la valeur numérique exacte.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme de l'angle :

\pi - x

\pi + x

-x

\dfrac{\pi}{2} - x

avec

x

dans le premier quadrant.

$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ . C'est la forme $\pi - x$ avec $x = \dfrac{\pi}{6}$ .

Étape 2 —

J'identifie la symétrie correspondante : axe

(Oy)

pour

\pi - x

, centre

O

pour

\pi + x

, axe

(Ox)

pour

-x

, première bissectrice pour

\dfrac{\pi}{2} - x

Symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$ : l'abscisse change de signe, l'ordonnée est conservée.

Étape 3 —

J'applique la formule en recopiant

\cos(x)

\sin(x)

avec le signe déterminé par le quadrant d'arrivée.

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ .

Étape 4 —

x

est une valeur remarquable, je remplace par la valeur numérique exacte.

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Calculer $\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$ .

Application autonome 1

Calculer $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .

Application autonome 2

Calculer $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

Application autonome 3

Calculer $\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ en utilisant la forme $\dfrac{\pi}{2} + x$ .

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