Comment reconnaître une suite géométrique et déterminer ses paramètres ? | MetMat

Comment reconnaître une suite géométrique et déterminer ses paramètres ?

En vérifiant que le rapport $u_{n+1}/u_n$ est constant

Déterminer si une suite est géométrique et, le cas échéant, identifier sa raison $q$ et son premier terme.

L'objectif

Déterminer si une suite est géométrique et, le cas échéant, identifier sa raison $q$ et son premier terme.

Le principe

Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si, pour tout $n$ , le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (avec $u_n \neq 0$ ) ; cette constante est la raison $q$ .

La méthode

1
Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour plusieurs valeurs de $n$ (ou de manière générale à partir de la définition de $u_n$ ). Vérifier que ce rapport est toujours le même.
2
Si le rapport est constant, la suite est géométrique de raison $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et de premier terme $u_0$ (ou $u_1$ selon la définition).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n$ . Montrer que $(u_n)$ est géométrique et déterminer sa raison.

Étape 1 —

Calculer

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

pour plusieurs valeurs de

n

(ou de manière générale à partir de la définition de

u_n

). Vérifier que ce rapport est toujours le même.

On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2u_n}{u_n} = 2$ pour tout $n$ . Le rapport est constant.

Étape 2 —

Si le rapport est constant, la suite est géométrique de raison

q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}

et de premier terme

u_0

(ou

u_1

selon la définition).

La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 3$ .

$(u_n)$ est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 3$ .

Application guidée

On pose $u_n = 5 \times 0{,}5^n$ . Montrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser $q$ et $u_0$ .

Application autonome 1

La suite $(v_n)$ est définie par $v_1 = 100$ et $v_{n+1} = -3v_n$ . Est-elle géométrique ?

Application autonome 2

Soit $(a_n)$ définie par $a_n = \dfrac{3^n}{4}$ pour tout $n \geq 0$ . Montrer que $(a_n)$ est géométrique et préciser $q$ et $a_0$ .

Application autonome 3

Soit $(b_n)$ définie par $b_n = n + 2^n$ . La suite est-elle géométrique ?

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En vérifiant que le rapport un+1/unu_{n+1}/u_nun+1​/un​ est constant

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que le rapport $u_{n+1}/u_n$ est constant