En étudiant les variations de $f$ telle que $u_n = f(n)$

Déterminer le sens de variation d'une suite en passant par l'étude d'une fonction associée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 + 1$ pour $n \geq 0$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite en passant par l'étude d'une fonction associée.

Le principe

Si $u_n = f(n)$ et $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , alors $(u_n)$ est croissante ; si $f$ est décroissante, $(u_n)$ est décroissante.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ (ou $[1\,;+\infty[$ ) telle que $u_n = f(n)$ .
2
Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe sur l'intervalle considéré.
3
Conclure : si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ , alors $f$ est croissante et la suite $(u_n)$ est croissante (et inversement si $f'(x) \leq 0$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 + 1$ pour $n \geq 0$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

définie sur

[0\,;+\infty[

(ou

[1\,;+\infty[

) telle que

u_n = f(n)

On pose $f(x) = x^2 + 1$ , définie sur $[0\,;+\infty[$ , avec $u_n = f(n)$ .

Étape 2 —

Calculer

f'(x)

et déterminer son signe sur l'intervalle considéré.

$f'(x) = 2x \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

f'(x) \geq 0

pour tout

x \geq 0

, alors

f

est croissante et la suite

(u_n)

est croissante (et inversement si

f'(x) \leq 0

$f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc $(u_n)$ est croissante.

$(u_n)$ est croissante.

Application guidée

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{1}{n+2}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 1

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt{2n+1}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 2

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 3

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = n\,\mathrm{e}^{-n}$ pour $n \geq 0$ .

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