En calculant la différence entre deux termes consécutifs et en identifiant le terme initial

Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique à partir d'informations partielles.

L'objectif

Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique à partir d'informations partielles.

Le principe

La raison $r$ est la différence entre deux termes consécutifs, et on remonte au premier terme par la formule $u_0 = u_p - pr$ .

La méthode

1
Calculer la raison $r = u_{n+1} - u_n$ à partir de deux termes consécutifs connus.
2
Si le premier terme n'est pas directement connu, utiliser la formule $u_0 = u_p - pr$ pour le retrouver.
3
Vérifier la cohérence en recalculant un terme connu à l'aide de $u_0$ et $r$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$(u_n)$ est arithmétique avec $u_3 = 14$ et $u_4 = 17$ . Déterminer $r$ et $u_0$ .

Étape 1 —

Calculer la raison

r = u_{n+1} - u_n

à partir de deux termes consécutifs connus.

$r = u_4 - u_3 = 17 - 14 = 3$ .

Étape 2 —

Si le premier terme n'est pas directement connu, utiliser la formule

u_0 = u_p - pr

pour le retrouver.

$u_0 = u_3 - 3r = 14 - 3 \times 3 = 14 - 9 = 5$ .

Étape 3 —

Vérifier la cohérence en recalculant un terme connu à l'aide de

u_0

r

Vérification : $u_4 = u_0 + 4r = 5 + 12 = 17$ ✓.

$r = 3$ et $u_0 = 5$

Application guidée

$(v_n)$ est arithmétique avec $v_2 = 10$ et $v_5 = 1$ . Déterminer $r$ et $v_0$ .

Application autonome 1

$(w_n)$ est arithmétique avec $w_1 = 8$ et $w_{10} = 35$ . Déterminer $r$ et $w_0$ .

Application autonome 2

$(u_n)$ est arithmétique avec $u_4 = -1$ et $u_9 = 14$ . Déterminer $r$ et $u_0$ .

Application autonome 3

Une lampe perd chaque année la même quantité de luminosité. Au bout de $3$ ans elle émet $880$ lumens et au bout de $8$ ans $680$ lumens. Modéliser par une suite arithmétique $(\ell_n)$ et déterminer $r$ et $\ell_0$ .

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