En identifiant un motif géométrique ou combinatoire

On construit une suite de triangles en allumettes : à l'étape 1 un triangle (3 allumettes), à l'étape 2 deux triangles accolés (5 allumettes), à l'étape 3 trois triangles (7 allumettes). Trouver $u_n$ le nombre d'allumettes à l'étape $n$.

On empile des carrés : à l'étape $n$, on forme un escalier de $n$ colonnes de hauteur $1, 2, \ldots, n$. Soit $u_n$ le nombre total de carrés. Trouver $u_n$.

On place $n$ points sur un cercle et on trace toutes les cordes possibles. Soit $c_n$ le nombre de cordes. Trouver $c_n$.

On construit une pyramide de cubes : à l'étage $1$, un seul cube au sommet ; à l'étage $n$, on ajoute une base carrée $n \times n$. Soit $u_n$ le nombre total de cubes après $n$ étages. Trouver $u_n$.

On divise un disque en parts en traçant $n$ diamètres distincts passant tous par le centre. Soit $p_n$ le nombre de parts obtenues. Trouver $p_n$.