En identifiant un motif géométrique ou combinatoire

Trouver une relation explicite ou de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique.

L'objectif

Trouver une relation explicite ou de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique.

Le principe

On dénombre les éléments du motif à chaque étape pour en déduire une formule explicite ou de récurrence.

La méthode

1
Dessiner ou décrire les premières étapes du motif et compter les éléments à chaque rang pour obtenir les premiers termes.
2
Identifier ce qui est ajouté ou modifié entre deux étapes consécutives pour repérer la régularité.
3
En déduire une relation de récurrence ou une formule explicite, puis vérifier sur les premiers termes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On construit une suite de triangles en allumettes : à l'étape 1 un triangle (3 allumettes), à l'étape 2 deux triangles accolés (5 allumettes), à l'étape 3 trois triangles (7 allumettes). Trouver $u_n$ le nombre d'allumettes à l'étape $n$ .

Étape 1 —

Dessiner ou décrire les premières étapes du motif et compter les éléments à chaque rang pour obtenir les premiers termes.

$u_1 = 3$ , $u_2 = 5$ , $u_3 = 7$ . On compte les allumettes à chaque étape.

Étape 2 —

Identifier ce qui est ajouté ou modifié entre deux étapes consécutives pour repérer la régularité.

À chaque nouvelle étape, on ajoute un triangle qui partage un côté avec le précédent, soit 2 allumettes de plus.

Étape 3 —

En déduire une relation de récurrence ou une formule explicite, puis vérifier sur les premiers termes.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + 2$ . Formule explicite : $u_n = 2n + 1$ . Vérification : $u_1 = 3$ ✓, $u_3 = 7$ ✓.

$u_n = 2n + 1$ pour tout $n \geq 1$

Application guidée

On empile des carrés : à l'étape $n$ , on forme un escalier de $n$ colonnes de hauteur $1, 2, \ldots, n$ . Soit $u_n$ le nombre total de carrés. Trouver $u_n$ .

Application autonome 1

On place $n$ points sur un cercle et on trace toutes les cordes possibles. Soit $c_n$ le nombre de cordes. Trouver $c_n$ .

Application autonome 2

On construit une pyramide de cubes : à l'étage $1$ , un seul cube au sommet ; à l'étage $n$ , on ajoute une base carrée $n \times n$ . Soit $u_n$ le nombre total de cubes après $n$ étages. Trouver $u_n$ .

Application autonome 3

On divise un disque en parts en traçant $n$ diamètres distincts passant tous par le centre. Soit $p_n$ le nombre de parts obtenues. Trouver $p_n$ .

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