Comment modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique ? | MetMat

Comment modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique ?

En identifiant un accroissement constant ou un taux d'évolution constant

Modéliser un phénomène discret par une suite arithmétique ou géométrique adaptée.

L'objectif

Modéliser un phénomène discret par une suite arithmétique ou géométrique adaptée.

Le principe

Un accroissement constant (ajouter/retrancher la même quantité à chaque étape) correspond à une suite arithmétique ; un taux d'évolution constant (multiplier par le même coefficient) correspond à une suite géométrique.

La méthode

1
Identifier la grandeur qui varie et définir $u_n$ (par exemple, le capital au bout de $n$ années, la population à l'instant $n$ , etc.). Préciser $u_0$ .
2
Déterminer le type d'évolution : si on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité $r$ , c'est arithmétique ( $u_{n+1} = u_n + r$ ) ; si on multiplie toujours par le même coefficient $q$ (par exemple $q = 1 + t$ pour un taux $t$ ), c'est géométrique ( $u_{n+1} = q \times u_n$ ).
3
Écrire la formule explicite ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^n$ ) et répondre à la question posée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un capital de $1\,000$ euros est placé à un taux annuel de $5\,\%$ . Exprimer le capital $u_n$ au bout de $n$ années.

Étape 1 —

Identifier la grandeur qui varie et définir

u_n

(par exemple, le capital au bout de

n

années, la population à l'instant

n

, etc.). Préciser

u_0

On pose $u_n$ le capital au bout de $n$ années. $u_0 = 1\,000$ .

Étape 2 —

Déterminer le type d'évolution : si on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité

r

, c'est arithmétique (

u_{n+1} = u_n + r

) ; si on multiplie toujours par le même coefficient

q

(par exemple

q = 1 + t

pour un taux

t

), c'est géométrique (

u_{n+1} = q \times u_n

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$ (taux constant). Donc $u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}05$ .

Étape 3 —

Écrire la formule explicite (

u_n = u_0 + nr

u_n = u_0 \times q^n

) et répondre à la question posée.

$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$ .

$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$

Application guidée

Un réservoir contient $500$ litres. Chaque jour, on en retire $30$ litres. Modéliser le volume $u_n$ après $n$ jours.

Application autonome 1

Une population de bactéries double toutes les heures. Au départ, il y a $200$ bactéries. Exprimer $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

Application autonome 2

Une voiture perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Elle vaut $20\,000$ euros à l'achat. Exprimer sa valeur $u_n$ après $n$ ans.

Application autonome 3

Un livre de bibliothèque perd $3$ lecteurs par mois. Au premier mois, $120$ personnes l'ont emprunté. Modéliser $u_n$ le nombre d'emprunts au mois $n$ et déterminer au bout de combien de mois il ne sera plus emprunté.

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