Comment calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ? | MetMat

Comment calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ?

En appliquant la formule premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\mathrm{nombre}}}{1 - q}$

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

L'objectif

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Le principe

La somme des $(n+1)$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \neq 1$ est $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ; on utilise aussi $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

La méthode

1
Identifier le premier terme de la somme, la raison $q$ et le nombre de termes à additionner.
2
Appliquer la formule : $S = \text{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\mathrm{nombre\,de\,termes}}}{1 - q}$ (valable pour $q \neq 1$ ).
3
Calculer la puissance de $q$ et simplifier pour obtenir le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9$ .

Étape 1 —

Identifier le premier terme de la somme, la raison

q

et le nombre de termes à additionner.

Le premier terme est $1$ , la raison est $q = 2$ et il y a $10$ termes (de $2^0$ à $2^9$ ).

Étape 2 —

Appliquer la formule :

S = \text{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\mathrm{nombre\,de\,termes}}}{1 - q}

(valable pour

q \neq 1

On applique $S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1}$ .

Étape 3 —

Calculer la puissance de

q

et simplifier pour obtenir le résultat.

On obtient $S = \dfrac{-1023}{-1} = 1023$ .

$S = 1023$

Application guidée

$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 3$ . Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4$ .

Application autonome 1

Calculer $S = 1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + 0{,}0625$ .

Application autonome 2

Calculer $S = 3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 3 \times 2^{10}$ .

Application autonome 3

On verse $1000$ \text{€} sur un compte à $4\,\%$ annuel et on retire le capital final après $15$ ans. Calculer la valeur $V$ des gains cumulés en sommant les intérêts annuels (intérêts composés, chaque année : $u_n = 1000 \times 1{,}04^n$ ). Calculer la somme $S = 1000 + 1000 \times 1{,}04 + \cdots + 1000 \times 1{,}04^{14}$ (total versé chaque année pendant $15$ ans).

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En appliquant la formule premier terme ×1−qnombre1−q\times \dfrac{1 - q^{\mathrm{nombre}}}{1 - q}×1−q1−qnombre​

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En appliquant la formule premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\mathrm{nombre}}}{1 - q}$