En utilisant le discriminant et le signe de $a$

Dresser le tableau de signes d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ en fonction du discriminant.

L'objectif

Dresser le tableau de signes d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ en fonction du discriminant.

Le principe

Si $\Delta < 0$ , le polynôme est du signe de $a$ pour tout $x$ . Si $\Delta = 0$ , il est du signe de $a$ sauf en $x_0$ où il s'annule. Si $\Delta > 0$ , il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.

La méthode

1
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ et déterminer les racines éventuelles.
2
Noter le signe de $a$ (coefficient de $x^2$ ).
3
Dresser le tableau de signes : si $\Delta > 0$ , le polynôme est du signe de $a$ sur $]-\infty\,; x_1[$ et $]x_2\,; +\infty[$ , du signe opposé sur $]x_1\,; x_2[$ , et nul en $x_1$ et $x_2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le signe de $P(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Étape 1 —

Calculer

\Delta = b^2 - 4ac

et déterminer les racines éventuelles.

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ . Racines : $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$ .

Étape 2 —

Noter le signe de

a

(coefficient de

x^2

$a = 1 > 0$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de signes : si

\Delta > 0

, le polynôme est du signe de

a

sur

]-\infty\,; x_1[

]x_2\,; +\infty[

, du signe opposé sur

]x_1\,; x_2[

, et nul en

x_1

x_2

$P(x) > 0$ sur $]-\infty\,; 2[ \cup ]3\,; +\infty[$ , $P(x) = 0$ pour $x = 2$ ou $x = 3$ , $P(x) < 0$ sur $]2\,; 3[$ .

$P(x) \geq 0$ sur $]-\infty\,; 2] \cup [3\,; +\infty[$ et $P(x) \leq 0$ sur $[2\,; 3]$ .

Application guidée

Étudier le signe de $P(x) = -2x^2 + 4x - 2$ .

Application autonome 1

Étudier le signe de $P(x) = x^2 + x + 1$ .

Application autonome 2

Étudier le signe de $P(x) = -x^2 + 3x + 4$ .

Application autonome 3

Étudier le signe de $P(x) = 3x^2 - 12$ .

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En utilisant le discriminant et le signe de aaa

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En utilisant le discriminant et le signe de $a$