En détectant une racine évidente

Trouver rapidement les racines d'un polynôme du second degré lorsqu'une racine est un entier simple.

L'objectif

Trouver rapidement les racines d'un polynôme du second degré lorsqu'une racine est un entier simple.

Le principe

Si $x_1$ est racine de $ax^2 + bx + c$ , alors la seconde racine est $x_2 = \dfrac{c}{a \, x_1}$ (produit des racines) ou $x_2 = -\dfrac{b}{a} - x_1$ (somme des racines).

La méthode

1
Tester des valeurs simples ( $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ , $-2$ , etc.) dans $f(x) = ax^2 + bx + c$ pour trouver une racine $x_1$ .
2
En déduire la seconde racine par la relation $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ou $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Étape 1 —

Tester des valeurs simples (

0

1

-1

2

-2

, etc.) dans

f(x) = ax^2 + bx + c

pour trouver une racine

x_1

$f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ donc $x_1 = 2$ est racine.

Étape 2 —

En déduire la seconde racine par la relation

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

$x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5$ donc $x_2 = 5 - 2 = 3$ .

$S = \{2\,; 3\}$

Application guidée

Résoudre $3x^2 + x - 2 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $2x^2 - 7x + 5 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^2 + 4x - 5 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^2 - 7x + 10 = 0$ à l'aide d'une racine évidente.

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