MetMat
← Retour aux méthodes

Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En utilisant la forme canonique

L'objectif

Déterminer l'extremum d'un polynôme du second degré en le mettant sous forme canonique.

Le principe

La forme canonique a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta rend immédiate la lecture de l'extremum : (x−α)2≥0(x - \alpha)^2 \geq 0 toujours, donc β\beta est la valeur extrême.

La méthode
  1. 1
    Factoriser aa : écrire f(x)=a(x2+bax)+cf(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c.
  2. 2
    Compléter le carré dans la parenthèse : x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}.
  3. 3
    Écrire la forme canonique : f(x)=a(x+b2a)2+c−b24af(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}.
  4. 4
    Lire l'extremum β=c−b24a\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}, atteint en α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}, et conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.