En factorisant un polynôme de degré 3 admettant une racine

Factoriser un polynôme de degré 3 et résoudre l'équation associée.

L'objectif

Factoriser un polynôme de degré 3 et résoudre l'équation associée.

Le principe

Si $r$ est racine de $P$ , alors $P(x) = (x - r)Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré 2 que l'on résout ensuite.

La méthode

1
Chercher une racine évidente $r$ en testant les diviseurs du terme constant (souvent $\pm 1$ , $\pm 2$ , ...).
2
Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x - r)$ pour obtenir le quotient $Q(x)$ de degré 2.
3
Résoudre $Q(x) = 0$ (par le discriminant ou factorisation) et rassembler toutes les racines.
Comment résoudre une équation du second degré ?Voir

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Exercice d'exemple

Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ et résoudre $P(x) = 0$ .

Étape 1 —

Chercher une racine évidente

r

en testant les diviseurs du terme constant (souvent

\pm 1

\pm 2

, ...).

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓. Donc $1$ est racine.

Étape 2 —

Effectuer la division euclidienne de

P(x)

par

(x - r)

pour obtenir le quotient

Q(x)

de degré 2.

En divisant par $(x-1)$ : $P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$ .

Étape 3 —

Résoudre

Q(x) = 0

(par le discriminant ou factorisation) et rassembler toutes les racines.

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ . Donc $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ et $S = \{1\,; 2\,; 3\}$ .

$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ , $S = \{1\,; 2\,; 3\}$

Application guidée

Résoudre $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$ .

Application autonome 1

Factoriser $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ et résoudre $P(x) = 0$ .

Application autonome 2

Factoriser $P(x) = x^3 - 7x + 6$ et résoudre $P(x) = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ .

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