En utilisant les racines obtenues par le discriminant

Factoriser un polynôme du second degré en utilisant le discriminant.

L'objectif

Factoriser un polynôme du second degré en utilisant le discriminant.

Le principe

Si $\Delta \geq 0$ , le polynôme $ax^2 + bx + c$ se factorise en $a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines obtenues par les formules du discriminant.

La méthode

1
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et en déduire les racines $x_1$ et $x_2$ .
Comment déterminer les racines d'un polynôme du second degré ?Voir
2
Écrire la factorisation : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Si $\Delta = 0$ , c'est $a(x - x_0)^2$ .
3
Vérifier en développant que l'on retrouve bien l'expression de départ.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser $P(x) = 2x^2 - 3x - 2$ .

Étape 1 —

Calculer le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

et en déduire les racines

x_1

x_2

$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$ . Racines : $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$ .

Étape 2 —

Écrire la factorisation :

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

. Si

\Delta = 0

, c'est

a(x - x_0)^2

$P(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2)$ .

Étape 3 —

Vérifier en développant que l'on retrouve bien l'expression de départ.

Vérification : $2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2) = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$ ✓.

$P(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2)$ ou $(2x + 1)(x - 2)$

Application guidée

Factoriser $P(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Application autonome 1

Factoriser $P(x) = 4x^2 + 4x + 1$ .

Application autonome 2

Factoriser $P(x) = -x^2 + 5x - 6$ .

Application autonome 3

Factoriser $P(x) = 3x^2 + 5x - 2$ .

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