En effectuant un changement de variable

Résoudre une équation de degré supérieur ou contenant des expressions composées en se ramenant au second degré.

L'objectif

Résoudre une équation de degré supérieur ou contenant des expressions composées en se ramenant au second degré.

Le principe

On pose $X = g(x)$ pour transformer l'équation en $aX^2 + bX + c = 0$ , puis on revient à la variable initiale.

La méthode

1
Identifier le changement de variable adapté ( $X = x^2$ , $X = \mathrm{e}^x$ , $X = \sqrt{x}$ , etc.) pour se ramener à une équation du second degré en $X$ .
2
Résoudre l'équation du second degré en $X$ (par le discriminant ou factorisation).
Comment résoudre une équation du second degré ?Voir
3
Revenir à la variable $x$ en résolvant $g(x) = X_i$ pour chaque solution $X_i$ trouvée, en vérifiant la compatibilité avec le domaine.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Étape 1 —

Identifier le changement de variable adapté (

X = x^2

X = \mathrm{e}^x

X = \sqrt{x}

, etc.) pour se ramener à une équation du second degré en

X

On pose $X = x^2$ ( $X \geq 0$ ). L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$ .

Étape 2 —

Résoudre l'équation du second degré en

X

(par le discriminant ou factorisation).

$\Delta = 25 - 16 = 9$ . $X_1 = \dfrac{5-3}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{5+3}{2} = 4$ . Les deux solutions sont positives.

Étape 3 —

Revenir à la variable

x

en résolvant

g(x) = X_i

pour chaque solution

X_i

trouvée, en vérifiant la compatibilité avec le domaine.

$x^2 = 1$ donne $x = \pm 1$ . $x^2 = 4$ donne $x = \pm 2$ .

$S = \{-2\,; -1\,; 1\,; 2\}$

Application guidée

Résoudre $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$ pour $x \geq 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .

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