Comment développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ou $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ ?

En utilisant les formules de polarisation

L'objectif

Calculer un produit scalaire quand on ne connaît que les normes (pas d'angle, pas de coordonnées).

Le principe

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ ou $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$ .

La méthode

1
Je repère les trois normes connues : $\|\vec{u}\|$ , $\|\vec{v}\|$ et $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ (ou $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ ).
2
J'applique la formule de polarisation adaptée et je remplace par les valeurs numériques.
3
Je simplifie pour obtenir $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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