En montrant que le produit scalaire est nul (coordonnées)

Prouver que deux vecteurs sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire avec les coordonnées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un repère orthonormé, montrer que $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(3\,;-2)$ sont orthogonaux.

L'objectif

Prouver que deux vecteurs sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire avec les coordonnées.

Le principe

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , soit $xx' + yy' = 0$ en coordonnées.

La méthode

1
Je détermine les coordonnées des deux vecteurs dans le repère orthonormé.
2
Je calcule le produit scalaire $xx' + yy'$ .
Comment calculer un produit scalaire avec les coordonnées ?Voir
3
Je conclus : si le résultat est $0$ , les vecteurs sont orthogonaux.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un repère orthonormé, montrer que $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(3\,;-2)$ sont orthogonaux.

Étape 1 —

Je détermine les coordonnées des deux vecteurs dans le repère orthonormé.

$\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(3\,;-2)$ .

Étape 2 —

Je calcule le produit scalaire

xx' + yy'

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 - 6 = 0$ .

Étape 3 —

Je conclus : si le résultat est

0

, les vecteurs sont orthogonaux.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ donc $\vec{u} \perp \vec{v}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ donc les vecteurs sont orthogonaux.

Application guidée

Soient $A(1\,;4)$ , $B(3\,;2)$ et $C(5\,;4)$ . Les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont-elles perpendiculaires ?

Application autonome 1

Soient $\vec{u}(1\,;5)$ et $\vec{v}(2\,;-1)$ . Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Application autonome 2

Soit $ABCD$ un losange de centre $O$ . Montrer que $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$ sont orthogonaux en utilisant les coordonnées. On donne $A(-2\,;0)$ , $B(0\,;3)$ , $C(2\,;0)$ , $D(0\,;-3)$ .

Application autonome 3

Soient $\vec{u}(-3\,; 6)$ et $\vec{v}(4\,; 2)$ dans un repère orthonormé. Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?

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