En appliquant $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)$

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ quand on connaît les normes et l'angle entre les deux vecteurs.

L'objectif

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ quand on connaît les normes et l'angle entre les deux vecteurs.

Le principe

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ où $\theta = \widehat{\vec{u},\vec{v}}$ est l'angle géométrique entre les vecteurs.

La méthode

1
Je relève les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ et l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs.
2
J'applique $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)$ et je calcule.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de normes $\|\vec{u}\| = 3$ et $\|\vec{v}\| = 5$ avec un angle de $60°$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Étape 1 —

Je relève les normes

\|\vec{u}\|

\|\vec{v}\|

et l'angle

\theta

entre les deux vecteurs.

$\|\vec{u}\| = 3$ , $\|\vec{v}\| = 5$ et $\theta = 60°$ .

Étape 2 —

J'applique

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)

et je calcule.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 5 \times \cos(60°) = 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{15}{2}$

Application guidée

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $4$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de normes $2$ et $7$ avec un angle de $120°$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Application autonome 2

Soit $ABCD$ un carré de côté $3$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ .

Application autonome 3

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de normes $\|\vec{u}\| = 6$ et $\|\vec{v}\| = 4$ avec un angle de $45°$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

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En appliquant u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)u⋅v=∥u∥∥v∥cos(θ)

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En appliquant $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)$