En utilisant $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$

Calculer la norme d'un vecteur grâce au produit scalaire.

L'objectif

Calculer la norme d'un vecteur grâce au produit scalaire.

Le principe

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ , donc $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ . En coordonnées : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

La méthode

1
Je relève les coordonnées du vecteur $\vec{u}(x\,;y)$ ou j'exprime $\vec{u} \cdot \vec{u}$ à l'aide des données géométriques.
2
Je calcule $\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$ (ou $\|\vec{u}\|^2$ par développement).
3
J'en déduis $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ .

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Exercice d'exemple

Calculer la norme de $\vec{u}(3\,;-4)$ .

Étape 1 —

Je relève les coordonnées du vecteur

\vec{u}(x\,;y)

ou j'exprime

\vec{u} \cdot \vec{u}

à l'aide des données géométriques.

$\vec{u}(3\,;-4)$ .

Étape 2 —

Je calcule

\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2

(ou

\|\vec{u}\|^2

par développement).

$\vec{u} \cdot \vec{u} = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}

$\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5$ .

$\|\vec{u}\| = 5$

Application guidée

Calculer la norme de $\vec{v}(1\,;\sqrt{3})$ .

Application autonome 1

Soient $A(2\,;-1)$ et $B(5\,;3)$ . Calculer $AB$ .

Application autonome 2

Calculer la norme de $\vec{w}(-5\,; 12)$ .

Application autonome 3

Soit $C(-1\,; 5)$ et $D(7\,; -1)$ . Calculer la distance $CD$ à l'aide du produit scalaire.

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