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Comment résoudre un problème avec MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} ?

En développant avec le milieu de [AB][AB]

L'objectif

Transformer MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} en une expression exploitable à l'aide du milieu de [AB][AB].

Le principe

En posant II milieu de [AB][AB], on a MA⃗=MI⃗+IA⃗\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA} et MB⃗=MI⃗+IB⃗=MI⃗−IA⃗\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB} = \vec{MI} - \vec{IA}, d'où MA⃗⋅MB⃗=MI2−IA2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2 (identité remarquable).

La méthode
  1. 1
    Introduire II, milieu de [AB][AB], et écrire MA⃗=MI⃗+IA⃗\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA} et MB⃗=MI⃗−IA⃗\vec{MB} = \vec{MI} - \vec{IA}.
  2. 2
    Développer : MA⃗⋅MB⃗=(MI⃗+IA⃗)⋅(MI⃗−IA⃗)=MI2−IA2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} - \vec{IA}) = MI^2 - IA^2.
  3. 3
    Exploiter le résultat selon le problème posé (calculer une valeur, résoudre une équation en MIMI, déterminer un lieu géométrique).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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