En développant $\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$ avec une décomposition adaptée

Calculer une longueur $AB$ lorsque les coordonnées ne sont pas directement disponibles mais que des informations vectorielles le sont.

L'objectif

Calculer une longueur $AB$ lorsque les coordonnées ne sont pas directement disponibles mais que des informations vectorielles le sont.

Le principe

On utilise $AB^2 = \|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$ en décomposant $\vec{AB}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis on développe le produit scalaire.

La méthode

1
Décomposer $\vec{AB}$ comme somme ou différence de vecteurs dont on connaît les normes et/ou les produits scalaires (par ex. $\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$ ).
2
Développer $\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$ en appliquant les règles de développement du produit scalaire (symétrie, distributivité).
3
Remplacer chaque produit scalaire par sa valeur connue, calculer et conclure en prenant la racine carrée.

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Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 3$ , $AC = 5$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10$ . Calculer $BC$ .

Étape 1 —

Décomposer

\vec{AB}

comme somme ou différence de vecteurs dont on connaît les normes et/ou les produits scalaires (par ex.

\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ , donc $BC^2 = \|\vec{AC} - \vec{AB}\|^2$ .

Étape 2 —

Développer

\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}

en appliquant les règles de développement du produit scalaire (symétrie, distributivité).

$BC^2 = \vec{AC} \cdot \vec{AC} - 2\,\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AC^2 - 2\,\vec{AB} \cdot \vec{AC} + AB^2$ .

Étape 3 —

Remplacer chaque produit scalaire par sa valeur connue, calculer et conclure en prenant la racine carrée.

$BC^2 = 25 - 2 \times 10 + 9 = 14$ , donc $BC = \sqrt{14}$ .

$BC = \sqrt{14}$

Application guidée

Soit $ABCD$ un parallélogramme avec $AB = 4$ , $AD = 3$ et $\widehat{BAD} = \dfrac{\pi}{3}$ . Calculer $AC$ .

Application autonome 1

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ avec $AB = 6$ . On donne un point $C$ tel que $CA = 4$ et $CB = 5$ . Calculer $CI$ .

Application autonome 2

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ puis la longueur de la médiane issue de $A$ .

Application autonome 3

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 7$ , $AC = 9$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Calculer $BC$ en décomposant $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$ .

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En développant ∥AB⃗∥2=AB⃗⋅AB⃗\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}∥AB∥2=AB⋅AB avec une décomposition adaptée

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En développant $\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$ avec une décomposition adaptée