En appliquant la loi des sinus $\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\widehat{C})}$

Approfondissement — Calculer un côté ou un angle d'un triangle en utilisant la loi des sinus.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Calculer un côté ou un angle d'un triangle en utilisant la loi des sinus.

Le principe

Dans tout triangle $ABC$ : $\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\widehat{C})} = 2R$ où $R$ est le rayon du cercle circonscrit.

La méthode

1
Identifier un couple (côté, angle opposé) connu et la grandeur cherchée (côté ou angle).
2
Écrire l'égalité des rapports $\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})}$ en plaçant la grandeur inconnue dans l'un des rapports.
3
Résoudre pour trouver la grandeur inconnue (produit en croix). Si on cherche un angle, vérifier s'il y a une ou deux solutions possibles ( $\sin$ peut donner un angle aigu ou obtus).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{6}$ , $\widehat{B} = \dfrac{\pi}{3}$ et $a = 4$ (côté opposé à $\widehat{A}$ ). Calculer $b$ .

Étape 1 —

Identifier un couple (côté, angle opposé) connu et la grandeur cherchée (côté ou angle).

Le couple connu est $(a = 4,\, \widehat{A} = \dfrac{\pi}{6})$ . On cherche $b$ avec $\widehat{B} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 2 —

Écrire l'égalité des rapports

\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})}

en plaçant la grandeur inconnue dans l'un des rapports.

$\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})}$ , soit $\dfrac{4}{\sin(\pi/6)} = \dfrac{b}{\sin(\pi/3)}$ .

Étape 3 —

Résoudre pour trouver la grandeur inconnue (produit en croix). Si on cherche un angle, vérifier s'il y a une ou deux solutions possibles (

\sin

peut donner un angle aigu ou obtus).

$\dfrac{4}{1/2} = \dfrac{b}{\sqrt{3}/2}$ , donc $8 = \dfrac{2b}{\sqrt{3}}$ , soit $b = 4\sqrt{3}$ .

$b = 4\sqrt{3}$

Application guidée

Dans le triangle $ABC$ , $a = 10$ , $b = 5\sqrt{2}$ et $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2}$ . Calculer $\widehat{B}$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{B} = \dfrac{\pi}{4}$ , $b = 6$ et $\widehat{C} = \dfrac{\pi}{6}$ . Calculer $c$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$ , $a = 9$ (côté opposé à $\widehat{A}$ ) et $\widehat{B} = \dfrac{\pi}{4}$ . Calculer $b$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ , $a = 12$ , $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$ et $b = 4\sqrt{3}$ . Calculer $\widehat{B}$ .

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En appliquant la loi des sinus asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)=csin⁡(C^)\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\widehat{C})}sin(A)a​=sin(B)b​=sin(C)c​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la loi des sinus $\dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\widehat{C})}$