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Comment développer ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 ou ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 ?

En appliquant les identités de développement ∥u⃗±v⃗∥2\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2

L'objectif

Développer le carré de la norme d'une somme ou différence de vecteurs.

Le principe

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 et ∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2.

La méthode
  1. 1
    J'identifie l'expression à développer : ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 ou ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2.
  2. 2
    J'applique l'identité correspondante : ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2.
  3. 3
    Je remplace par les valeurs connues et je calcule.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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