En isolant le cosinus dans $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\theta)$

Déterminer l'angle entre deux vecteurs à l'aide du produit scalaire.

L'objectif

Déterminer l'angle entre deux vecteurs à l'aide du produit scalaire.

Le principe

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|}$ puis $\theta = \arccos(\ldots)$ .

La méthode

1
Je calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (par coordonnées, normes ou projection).
2
Je calcule $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ .
3
J'en déduis $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|}$ puis $\theta = \arccos(\ldots)$ .

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Exercice d'exemple

Calculer l'angle entre $\vec{u}(1\,;1)$ et $\vec{v}(1\,;0)$ .

Étape 1 —

Je calcule

\vec{u} \cdot \vec{v}

(par coordonnées, normes ou projection).

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$ .

Étape 2 —

Je calcule

\|\vec{u}\|

\|\vec{v}\|

$\|\vec{u}\| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ et $\|\vec{v}\| = 1$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|}

puis

\theta = \arccos(\ldots)

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\theta = 45°$ .

$\theta = 45°$

Application guidée

Soient $A(0\,;0)$ , $B(3\,;0)$ et $C(1\,;\sqrt{3})$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 1

Soient $\vec{u}(2\,;-1)$ et $\vec{v}(-1\,;2)$ . Calculer l'angle entre ces vecteurs.

Application autonome 2

Soient $A(1\,;2)$ , $B(4\,;2)$ et $C(1\,;6)$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 3

Soient $\vec{u}(3\,;4)$ et $\vec{v}(1\,;2)$ dans un repère orthonormé. Calculer l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à $0{,}1°$ près.

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