En utilisant $\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$

Calculer la mesure de l'angle entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

L'objectif

Calculer la mesure de l'angle entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Le principe

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, alors $\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ , et on en déduit l'angle par $\arccos$ .

La méthode

1
Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (par les coordonnées ou une autre expression).
2
Calculer les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ .
3
Calculer $\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ puis en déduire $\theta$ avec $\arccos$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(1\,;1)$ et $\vec{v}(1\,;0)$ . Calculer l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Étape 1 —

Calculer le produit scalaire

\vec{u} \cdot \vec{v}

(par les coordonnées ou une autre expression).

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$ .

Étape 2 —

Calculer les normes

\|\vec{u}\|

\|\vec{v}\|

$\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$ .

Étape 3 —

Calculer

\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}

puis en déduire

\theta

avec

\arccos

$\cos(\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ .

$\theta = \dfrac{\pi}{4}$

Application guidée

On donne $\vec{u}(1\,;\sqrt{3})$ et $\vec{v}(\sqrt{3}\,;1)$ . Calculer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Application autonome 1

On donne $\vec{u}(3\,;4)$ et $\vec{v}(-4\,;3)$ . Calculer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Application autonome 2

On donne $\vec{u}(2\,;2)$ et $\vec{v}(-1\,;\sqrt{3})$ . Calculer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Application autonome 3

On donne $\vec{u}(5\,;0)$ et $\vec{v}(3\,;3)$ . Calculer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

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En utilisant cos⁡(θ)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}cos(θ)=∥u∥×∥v∥u⋅v​

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En utilisant $\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$