En appliquant $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})$ pour trouver un côté

Calculer la longueur du troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris.

L'objectif

Calculer la longueur du troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris.

Le principe

La formule d'Al-Kashi $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})$ relie les trois côtés d'un triangle à l'un de ses angles.

La méthode

1
Identifier les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.
2
Appliquer la formule d'Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$ où $a$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{A}$ .
3
Calculer le résultat et prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Calculer $BC$ .

Étape 1 —

Identifier les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.

On connaît $AB = 5$ , $AC = 7$ et l'angle compris $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule d'Al-Kashi :

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})

où

a

est le côté opposé à l'angle

\widehat{A}

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Calculer le résultat et prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

$BC^2 = 74 - 35 = 39$ , donc $BC = \sqrt{39}$ .

$BC = \sqrt{39}$

Application guidée

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 4$ , $AC = 6$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$ . Retrouver $BC$ par Al-Kashi.

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 8$ , $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$ . Calculer $BC$ .

Application autonome 2

Un bateau part du port $A$ , navigue $10\,\mathrm{km}$ jusqu'au point $B$ , tourne de $120°$ et parcourt $6\,\mathrm{km}$ jusqu'au point $C$ . Quelle est la distance $AC$ ?

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 6$ , $AC = 9$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{6}$ . Calculer $BC$ .

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En appliquant BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(A^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos(A) pour trouver un côté

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})$ pour trouver un côté