En appliquant Al-Kashi pour trouver un angle connaissant les trois côtés

Calculer un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés.

L'objectif

Calculer un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés.

Le principe

En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ où $a$ est le côté opposé à $\widehat{A}$ .

La méthode

1
Identifier les trois côtés et repérer l'angle cherché (opposé au côté $a$ ).
2
Appliquer la formule inversée : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ .
3
Calculer la valeur du cosinus puis en déduire l'angle avec $\arccos$ .
Comment calculer un angle à l'aide du produit scalaire ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 3$ , $AC = 5$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Identifier les trois côtés et repérer l'angle cherché (opposé au côté

a

L'angle cherché est $\widehat{BAC}$ , opposé au côté $BC = 7$ . Les côtés adjacents sont $AB = 3$ et $AC = 5$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule inversée :

\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

$\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Calculer la valeur du cosinus puis en déduire l'angle avec

\arccos

$\cos(\widehat{BAC}) = -\dfrac{1}{2}$ , donc $\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$ .

$\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$

Application guidée

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 5$ et $BC = 5$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 6$ , $AC = 4$ et $BC = 8$ . Calculer $\widehat{ABC}$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 7$ , $AC = 9$ et $BC = 12$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $MNP$ , $MN = 4$ , $MP = 6$ et $NP = 5$ . Calculer $\widehat{MNP}$ .

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