En généralisant à une succession de trois épreuves ou plus

Calculer des probabilités dans une expérience répétée $n$ fois de manière indépendante ( $n \geq 3$ ).

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance trois fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?

L'objectif

Calculer des probabilités dans une expérience répétée $n$ fois de manière indépendante ( $n \geq 3$ ).

Le principe

Si une même épreuve est répétée $n$ fois de manière indépendante, la probabilité d'obtenir un résultat précis à chaque étape est le produit des probabilités individuelles. En particulier, $P(\text{succès aux } n \text{ épreuves}) = p^n$ et $P(\text{aucun succès}) = (1-p)^n$ .

La méthode

1
J'identifie la probabilité de succès $p$ à chaque épreuve et le nombre de répétitions $n$ .
2
Pour un chemin précis (par exemple $S, E, S$ ), je calcule la probabilité en multipliant : $p \times (1-p) \times p$ .
3
Pour un événement composite (par exemple « au moins un succès »), j'utilise le complémentaire : $P(\text{au moins un S}) = 1 - (1-p)^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance trois fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?

Étape 1 —

J'identifie la probabilité de succès

p

à chaque épreuve et le nombre de répétitions

n

$p = \dfrac{1}{2}$ (probabilité de pile), $n = 3$ lancers indépendants.

Étape 2 —

Pour un chemin précis (par exemple

S, E, S

), je calcule la probabilité en multipliant :

p \times (1-p) \times p

$P(\text{aucun pile}) = P(F, F, F) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ .

Étape 3 —

Pour un événement composite (par exemple « au moins un succès »), j'utilise le complémentaire :

P(\text{au moins un S}) = 1 - (1-p)^n

$P(\text{au moins un pile}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$ .

$P(\text{au moins un pile}) = \dfrac{7}{8}$ .

Application guidée

Un composant électronique a une probabilité de $0{,}95$ de fonctionner. On en connecte $4$ en série (indépendamment). Quelle est la probabilité que le système fonctionne (tous les composants marchent) ?

Application autonome 1

Un joueur a une probabilité de $0{,}3$ de marquer à chaque tir. Il tire $5$ fois (indépendamment). Quelle est la probabilité qu'il ne marque aucun but ?

Application autonome 2

Une alarme se déclenche à tort chaque nuit avec une probabilité de $0{,}02$ (nuits indépendantes). Quelle est la probabilité qu'elle se déclenche au moins une fois en $10$ nuits ?

Application autonome 3

Un site web a une probabilité de $0{,}98$ d'être disponible chaque heure, indépendamment des autres heures. Quelle est la probabilité qu'il soit disponible les $24$ heures d'une journée ?

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