En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Calculer $P_A(B)$ en utilisant la formule $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

L'objectif

Calculer $P_A(B)$ en utilisant la formule $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Le principe

La probabilité de $B$ sachant $A$ se calcule en divisant la probabilité de l'intersection $A \cap B$ par la probabilité de $A$ (non nulle).

La méthode

1
J'identifie les événements $A$ et $B$ dans l'énoncé et je repère lequel est la condition (celui après « sachant »).
2
Je relève ou je calcule $P(A)$ et $P(A \cap B)$ à partir des données de l'énoncé.
3
J'applique la formule $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ et je simplifie le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves pratiquent un sport ( $A$ ) et $15\,\%$ pratiquent un sport et sont en première ( $B$ ). Calculer la probabilité qu'un élève soit en première sachant qu'il pratique un sport.

Étape 1 —

J'identifie les événements

A

B

dans l'énoncé et je repère lequel est la condition (celui après « sachant »).

$A$ : « l'élève pratique un sport », $B$ : « l'élève est en première ». On cherche $P_A(B)$ .

Étape 2 —

Je relève ou je calcule

P(A)

P(A \cap B)

à partir des données de l'énoncé.

$P(A) = 0{,}40$ et $P(A \cap B) = 0{,}15$ .

Étape 3 —

J'applique la formule

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

et je simplifie le résultat.

$P_A(B) = \dfrac{0{,}15}{0{,}40} = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ .

$P_A(B) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$

Application guidée

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$ ». Calculer $P_A(B)$ .

Application autonome 1

Dans une classe, la probabilité d'être demi-pensionnaire est $0{,}7$ et la probabilité d'être demi-pensionnaire et d'avoir choisi l'option musique est $0{,}21$ . Calculer la probabilité d'avoir choisi musique sachant que l'élève est demi-pensionnaire.

Application autonome 2

Dans un club, $30\,\%$ des adhérents sont des enfants et $12\,\%$ des adhérents sont des enfants pratiquant la natation. Calculer la probabilité qu'un adhérent pratique la natation sachant qu'il s'agit d'un enfant.

Application autonome 3

On tire une carte d'un jeu de $52$ cartes. Soit $A$ : « obtenir un cœur » et $B$ : « obtenir une dame ». Calculer $P_A(B)$ .

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En appliquant PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}PA​(B)=P(A)P(A∩B)​

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En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$