En distinguant $P_A(B)$ et $P_B(A)$

Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ et savoir calculer l'une connaissant l'autre.

L'objectif

Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ et savoir calculer l'une connaissant l'autre.

Le principe

En général $P_A(B) \neq P_B(A)$ . La confusion est fréquente dans les tests de dépistage : « être malade sachant que le test est positif » n'est pas « avoir un test positif sachant qu'on est malade ».

La méthode

1
Je reformule précisément la question posée pour identifier quel événement est la condition et quel événement est le résultat.
2
Je calcule séparément $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ et $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ si nécessaire.
3
Je compare les deux résultats et j'interprète la différence dans le contexte du problème.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : $P_M(T^+) = 0{,}95$ (sensibilité) et $P(M) = 0{,}01$ . On a aussi $P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}03$ . Calculer $P_{T^+}(M)$ (valeur prédictive positive) et comparer avec $P_M(T^+)$ .

Étape 1 —

Je reformule précisément la question posée pour identifier quel événement est la condition et quel événement est le résultat.

$P_M(T^+) = 0{,}95$ signifie : « sachant qu'on est malade, le test est positif ». On cherche $P_{T^+}(M)$ : « sachant que le test est positif, on est malade ». Ce sont deux probabilités conditionnelles différentes.

Étape 2 —

Je calcule séparément

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

si nécessaire.

$P(T^+) = P_M(T^+) \times P(M) + P_{\overline{M}}(T^+) \times P(\overline{M}) = 0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}03 \times 0{,}99 = 0{,}0095 + 0{,}0297 = 0{,}0392$ .
$P_{T^+}(M) = \dfrac{P_M(T^+) \times P(M)}{P(T^+)} = \dfrac{0{,}0095}{0{,}0392} \approx 0{,}242$ .

Étape 3 —

Je compare les deux résultats et j'interprète la différence dans le contexte du problème.

$P_M(T^+) = 0{,}95$ mais $P_{T^+}(M) \approx 0{,}24$ : un test positif ne signifie pas qu'on est malade avec $95\,\%$ de chance, mais seulement environ $24\,\%$ .

$P_{T^+}(M) \approx 0{,}242$ alors que $P_M(T^+) = 0{,}95$ : les deux probabilités sont très différentes.

Application guidée

Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves font du sport ( $S$ ) et $25\,\%$ sont en terminale ( $T$ ). Parmi les sportifs, $30\,\%$ sont en terminale. Calculer $P_S(T)$ et $P_T(S)$ .

Application autonome 1

Parmi $500$ voyageurs, $200$ ont un billet 1re classe ( $A$ ) et $150$ ont une réservation de siège ( $B$ ). $100$ ont un billet 1re classe et une réservation. Calculer $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

Application autonome 2

Dans une entreprise, $40\,\%$ des employés sont cadres ( $C$ ) et $30\,\%$ télétravaillent ( $T$ ). Parmi les cadres, $50\,\%$ télétravaillent. Calculer $P_C(T)$ et $P_T(C)$ .

Application autonome 3

Dans une ville, $5\,\%$ des habitants possèdent un vélo électrique ( $V$ ). Parmi les utilisateurs réguliers de pistes cyclables ( $P$ ), qui représentent $20\,\%$ de la population, $30\,\%$ ont un vélo électrique. Calculer $P_P(V)$ et $P_V(P)$ .

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En distinguant PA(B)P_A(B)PA​(B) et PB(A)P_B(A)PB​(A)

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En distinguant $P_A(B)$ et $P_B(A)$