En organisant les effectifs et en calculant les proportions

Construire un tableau croisé d'effectifs complet et en déduire des probabilités.

L'objectif

Construire un tableau croisé d'effectifs complet et en déduire des probabilités.

Le principe

On organise les données dans un tableau à double entrée avec les marges (totaux). Chaque case divisée par l'effectif total donne une probabilité, et chaque case divisée par le total de sa ligne ou colonne donne une probabilité conditionnelle.

La méthode

1
Je place les données de l'énoncé dans les cases correspondantes du tableau à double entrée.
2
Je complète les cases manquantes en utilisant les totaux : effectif d'une case $=$ total ligne $-$ somme des autres cases de la ligne (idem pour les colonnes).
3
Je vérifie que les totaux des lignes et des colonnes sont cohérents et que le total général est correct.
4
Je calcule les probabilités demandées : $P(A) = \dfrac{\text{effectif de } A}{\text{total général}}$ ou $P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir

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Exercice d'exemple

Dans un groupe de $300$ étudiants, $180$ sont en lettres ( $L$ ), $120$ en sciences ( $S$ ). Parmi les littéraires, $90$ ont un job étudiant ( $J$ ). Au total, $130$ étudiants ont un job. Construire le tableau et calculer $P(J)$ et $P_S(J)$ .

Étape 1 —

Je place les données de l'énoncé dans les cases correspondantes du tableau à double entrée.

On place : effectif de $L$ = $180$ , effectif de $S$ = $120$ , effectif de $L \cap J$ = $90$ , total de $J$ = $130$ .

Étape 2 —

Je complète les cases manquantes en utilisant les totaux : effectif d'une case

=

total ligne

-

somme des autres cases de la ligne (idem pour les colonnes).

$S \cap J = 130 - 90 = 40$ . $L \cap \overline{J} = 180 - 90 = 90$ . $S \cap \overline{J} = 120 - 40 = 80$ . Total $\overline{J} = 90 + 80 = 170$ .

Étape 3 —

Je vérifie que les totaux des lignes et des colonnes sont cohérents et que le total général est correct.

Vérification : $130 + 170 = 300$ ✓ et $180 + 120 = 300$ ✓.

Étape 4 —

Je calcule les probabilités demandées :

P(A) = \dfrac{\text{effectif de } A}{\text{total général}}

P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}

$P(J) = \dfrac{130}{300} = \dfrac{13}{30}$ et $P_S(J) = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3}$ .

$P(J) = \dfrac{13}{30}$ et $P_S(J) = \dfrac{1}{3}$

Application guidée

Sur $400$ clients d'un magasin, $240$ sont des femmes. $100$ clients ont acheté en ligne ( $E$ ), dont $70$ femmes. Construire le tableau et calculer la probabilité qu'un homme ait acheté en ligne.

Application autonome 1

Parmi $250$ habitants interrogés, $150$ pratiquent le tri sélectif ( $T$ ) et $100$ habitent en appartement ( $A$ ). $70$ habitants en appartement pratiquent le tri. Construire le tableau et calculer $P_{\overline{A}}(T)$ .

Application autonome 2

Dans un lycée de $600$ élèves, $360$ sont des filles ( $F$ ). $240$ élèves ont choisi l'option théâtre ( $T$ ), parmi lesquels $180$ filles. Construire le tableau et calculer $P_{\overline{F}}(T)$ .

Application autonome 3

Un sondage porte sur $800$ clients d'une librairie. $500$ lisent des romans ( $R$ ), $300$ lisent des BD ( $B$ ). $120$ clients lisent à la fois des romans et des BD. Construire le tableau et calculer la probabilité qu'un client lise des romans sans lire de BD.

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