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Comment reconnaître une équation de cercle et trouver centre et rayon ?

En mettant sous forme canonique par complétion du carré

L'objectif

Reconnaître une équation de cercle et en déduire le centre et le rayon.

Le principe

On complète le carré en xx et en yy pour ramener l'équation à la forme (x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.

La méthode
  1. 1
    Je regroupe les termes en xx et les termes en yy : (x2+Dx)+(y2+Ey)=−F(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F.
  2. 2
    Je complète le carré : (x+D2)2−D24+(y+E2)2−E24=−F\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 - \dfrac{D^2}{4} + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 - \dfrac{E^2}{4} = -F.
  3. 3
    Je simplifie : (x+D2)2+(y+E2)2=D2+E24−F\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2 + E^2}{4} - F. Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre (−D2;−E2)\left(-\dfrac{D}{2} ; -\dfrac{E}{2}\right) et de rayon R=D2+E24−FR = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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