En cherchant l'intersection d'une droite et d'un cercle

Trouver les points d'intersection d'une droite et d'un cercle.

L'objectif

Trouver les points d'intersection d'une droite et d'un cercle.

Le principe

On substitue l'expression de $y$ (ou $x$ ) tirée de l'équation de la droite dans l'équation du cercle pour obtenir une équation du second degré.

La méthode

1
J'exprime $y$ en fonction de $x$ (ou inversement) à partir de l'équation de la droite.
2
Je substitue dans l'équation du cercle et je développe pour obtenir une équation du second degré.
3
Je calcule le discriminant $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , deux points d'intersection ; si $\Delta = 0$ , tangence ; si $\Delta < 0$ , aucune intersection.
4
Je résous l'équation et je calcule les coordonnées des points d'intersection.

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Exercice d'exemple

Déterminer les points d'intersection de la droite $d : y = x + 1$ et du cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 5$ .

Étape 1 —

J'exprime

y

en fonction de

x

(ou inversement) à partir de l'équation de la droite.

De la droite : $y = x + 1$ .

Étape 2 —

Je substitue dans l'équation du cercle et je développe pour obtenir une équation du second degré.

On substitue : $x^2 + (x + 1)^2 = 5$ , soit $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5$ , donc $2x^2 + 2x - 4 = 0$ , soit $x^2 + x - 2 = 0$ .

Étape 3 —

Je calcule le discriminant

\Delta

: si

\Delta > 0

, deux points d'intersection ; si

\Delta = 0

, tangence ; si

\Delta < 0

, aucune intersection.

$\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$ : deux points d'intersection.

Étape 4 —

Je résous l'équation et je calcule les coordonnées des points d'intersection.

$x_1 = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2$ , $y_1 = -1$ . $x_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$ , $y_2 = 2$ . Les points sont $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 2)$ .

$(-2 ; -1)$ et $(1 ; 2)$

Application guidée

Déterminer les points d'intersection de la droite $d : y = 2x - 3$ et du cercle $\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$ .

Application autonome 1

La droite $d : y = x + 3$ coupe-t-elle le cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 1$ ?

Application autonome 2

Déterminer les points d'intersection de la droite $d : y = -x + 2$ et du cercle $\mathcal{C} : x^2 + (y - 1)^2 = 4$ .

Application autonome 3

La droite $d : x + y = 4$ est-elle tangente au cercle $\mathcal{C} : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$ ?

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