En utilisant un point et un vecteur directeur

Écrire l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.

L'objectif

Écrire l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.

Le principe

Si $\vec{u}(-b ; a)$ est un vecteur directeur de $d$ , alors $\vec{n}(a ; b)$ est un vecteur normal et on applique $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ .

La méthode

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J'identifie le point $A(x_0 ; y_0)$ et le vecteur directeur $\vec{u}(\alpha ; \beta)$ .
2
J'en déduis un vecteur normal $\vec{n}(\beta ; -\alpha)$ (on permute les coordonnées et on change un signe).
Comment déterminer un vecteur normal à une droite ?Voir
3
J'écris l'équation $\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$ et je développe.

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Exercice d'exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(1 ; 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; -1)$ .

Étape 1 —

J'identifie le point

A(x_0 ; y_0)

et le vecteur directeur

\vec{u}(\alpha ; \beta)

On a $A(1 ; 3)$ et $\vec{u}(2 ; -1)$ .

Étape 2 —

J'en déduis un vecteur normal

\vec{n}(\beta ; -\alpha)

(on permute les coordonnées et on change un signe).

Un vecteur normal est $\vec{n}(-1 ; -2) = -(1 ; 2)$ , soit on prend $\vec{n}(1 ; 2)$ .

Étape 3 —

J'écris l'équation

\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0

et je développe.

$1(x - 1) + 2(y - 3) = 0$ , soit $x - 1 + 2y - 6 = 0$ , donc $x + 2y - 7 = 0$ .

$d : x + 2y - 7 = 0$

Application guidée

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(4 ; -2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 5)$ .

Application autonome 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(0 ; 1)$ et $B(3 ; -2)$ .

Application autonome 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(-1\,; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4\,; 3)$ .

Application autonome 3

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 3$ et passant par $B(4\,; 1)$ .

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