Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ? | MetMat

Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En calculant $f(a)$ et $f'(a)$ pour déterminer l'équation de la tangente

Déterminer l'équation de la tangente à une courbe exponentielle en un point.

L'objectif

Déterminer l'équation de la tangente à une courbe exponentielle en un point.

Le principe

La tangente à la courbe de $f$ en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

La méthode

1
Calculer $f(a)$ .
2
Calculer $f'(x)$ puis évaluer $f'(a)$ .
3
Écrire l'équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ et simplifier.
Comment déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \mathrm{e}^x$ en $x = 0$ .

Étape 1 —

Calculer

f(a)

$f(0) = \mathrm{e}^0 = 1$ .

Étape 2 —

Calculer

f'(x)

puis évaluer

f'(a)

$f'(x) = \mathrm{e}^x$ , donc $f'(0) = \mathrm{e}^0 = 1$ .

Étape 3 —

Écrire l'équation de la tangente :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

et simplifier.

$y = 1 \cdot (x - 0) + 1 = x + 1$ .

$y = x + 1$

Application guidée

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \mathrm{e}^{2x}$ en $x = 1$ .

Application autonome 1

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ en $x = 0$ .

Application autonome 2

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$ en $x = -1$ .

Application autonome 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = (x + 1)\mathrm{e}^x$ en $x = 0$ .

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