En factorisant par une exponentielle commune

Factoriser une expression contenant des sommes ou différences d'exponentielles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Factoriser $A = e^{2x} + 3e^x$ .

L'objectif

Factoriser une expression contenant des sommes ou différences d'exponentielles.

Le principe

On repère le facteur exponentiel commun et on le met en facteur, en utilisant le fait que $e^x > 0$ pour tout réel $x$ .

La méthode

1
Identifier le terme exponentiel commun à tous les termes de l'expression.
2
Mettre ce facteur en évidence : écrire chaque terme comme le produit du facteur commun par un coefficient.
3
Simplifier l'expression entre parenthèses.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser $A = e^{2x} + 3e^x$ .

Étape 1 —

Identifier le terme exponentiel commun à tous les termes de l'expression.

Le facteur commun est $e^x$ (plus petit exposant).

Étape 2 —

Mettre ce facteur en évidence : écrire chaque terme comme le produit du facteur commun par un coefficient.

On écrit $e^{2x} = e^x \cdot e^x$ , donc $A = e^x(e^x + 3)$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression entre parenthèses.

L'expression factorisée est $A = e^x(e^x + 3)$ .

$A = e^x(e^x + 3)$

Application guidée

Factoriser $B = 2e^{3x} - e^{2x}$ .

Application autonome 1

Factoriser $C = e^{-x} + e^{-2x}$ .

Application autonome 2

Factoriser $A = x\,\mathrm{e}^{2x} - 4\,\mathrm{e}^{2x}$ .

Application autonome 3

Factoriser $B = \mathrm{e}^{3x+1} + \mathrm{e}^{x+1}$ .

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