Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En utilisant la bijectivité de l'exponentielle pour résoudre $\mathrm{e}^{u(x)} = k$

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $\mathrm{e}^{u(x)} = k$ .

Le principe

L'exponentielle est strictement positive, donc si $k \leq 0$ il n'y a pas de solution. Si $k > 0$ , on utilise l'injectivité : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ .

La méthode

1
Vérifier le signe de $k$ : si $k \leq 0$ , l'équation n'a pas de solution (car $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ ).
2
Si $k > 0$ , écrire $k = \mathrm{e}^{\ln k}$ pour se ramener à $\mathrm{e}^{u(x)} = \mathrm{e}^{\ln k}$ .
3
Par injectivité de l'exponentielle, conclure $u(x) = \ln k$ et résoudre cette équation.
Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?Voir

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En utilisant la bijectivité de l'exponentielle pour résoudre eu(x)=k\mathrm{e}^{u(x)} = keu(x)=k

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En utilisant la bijectivité de l'exponentielle pour résoudre $\mathrm{e}^{u(x)} = k$