Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En faisant le lien avec une suite géométrique (temps discret vs continu)

L'objectif

Passer d'un modèle discret (suite géométrique) à un modèle continu (exponentielle) et inversement.

Le principe

Si $u_n = u_0 \cdot q^n$ avec $q > 0$ , alors $q = \mathrm{e}^{\ln q}$ et $u_n = u_0\,\mathrm{e}^{n \ln q}$ , ce qui donne $k = \ln q$ .

La méthode

1
Identifier la suite géométrique : $u_0$ (terme initial) et $q$ (raison, $q > 0$ ).
2
Écrire $q = \mathrm{e}^{\ln q}$ , de sorte que $u_n = u_0 \cdot q^n = u_0\,\mathrm{e}^{n\ln q}$ . Le paramètre continu est $k = \ln q$ .
3
Interpréter : si $q > 1$ ( $k > 0$ ) c'est une croissance ; si $0 < q < 1$ ( $k < 0$ ) c'est une décroissance.

Difficulté croissante de 1 à 3

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