Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En utilisant la croissance de l'exponentielle pour résoudre $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$

L'objectif

Résoudre une inéquation du type $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ ou $\mathrm{e}^{u(x)} \leq k$ .

Le principe

L'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , donc $\mathrm{e}^a \leq \mathrm{e}^b \iff a \leq b$ .

La méthode

1
Se ramener à une inéquation de la forme $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ (si un membre est une constante $k > 0$ , l'écrire $\mathrm{e}^{\ln k}$ ).
2
Par stricte croissance de l'exponentielle, simplifier en $u(x) \leq v(x)$ .
3
Résoudre l'inéquation obtenue et exprimer l'ensemble solution.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant la croissance de l'exponentielle pour résoudre eu(x)≤ev(x)\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}eu(x)≤ev(x)