En factorisant et en utilisant un produit nul

Résoudre une équation exponentielle en factorisant par $e^x$ puis en utilisant la règle du produit nul.

L'objectif

Résoudre une équation exponentielle en factorisant par $e^x$ puis en utilisant la règle du produit nul.

Le principe

On factorise par l'exponentielle commune, puis on utilise le fait que $e^x > 0$ pour tout $x$ (le facteur exponentiel ne s'annule jamais).

La méthode

1
Passer tous les termes du même côté et factoriser par l'exponentielle commune.
2
Appliquer la règle du produit nul en éliminant le facteur $e^{f(x)}$ (car $e^{f(x)} > 0$ pour tout $x$ ).
3
Résoudre l'équation restante sur le second facteur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $(2x - 1)e^x = 0$ .

Étape 1 —

Passer tous les termes du même côté et factoriser par l'exponentielle commune.

L'expression est déjà factorisée : $(2x - 1) \cdot e^x = 0$ .

Étape 2 —

Appliquer la règle du produit nul en éliminant le facteur

e^{f(x)}

(car

e^{f(x)} > 0

pour tout

x

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Or $e^x > 0$ pour tout $x$ , donc $e^x \neq 0$ .

Étape 3 —

Résoudre l'équation restante sur le second facteur.

Il reste $2x - 1 = 0$ , soit $x = \dfrac{1}{2}$ .

$S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$

Application guidée

Résoudre $e^{2x} - 5e^x = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $(x^2 - 4)e^{-x} = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $(x^2 + 3x - 4)\,\mathrm{e}^{-2x} = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $3xe^x - 6e^x = 0$ .

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