En appliquant $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ avec $u$ quelconque

Calculer la dérivée de $\mathrm{e}^{u(x)}$ lorsque $u$ n'est pas une fonction affine.

L'objectif

Calculer la dérivée de $\mathrm{e}^{u(x)}$ lorsque $u$ n'est pas une fonction affine.

Le principe

On identifie $u(x)$ , on calcule $u'(x)$ , puis on applique $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ .

La méthode

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}$ .

Étape 1 —

Identifier

u(x)

dans l'expression

\mathrm{e}^{u(x)}

et calculer

u'(x)

On identifie $u(x) = x^2$ , donc $u'(x) = 2x$ .

Étape 2 —

Appliquer

(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u

On applique la formule : $f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, réduire).

L'expression est déjà simplifiée.

$f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 3x + 1}$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ pour $x \neq 0$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{-x^3 + 2x}$ sur $\mathbb{R}$ .

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